文章编号：1834 / 更新时间：2024-11-30 21:03:17 / 浏览：次
如何理解纳维尔-斯托克斯方程？ 纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中描述流体的运动的偏微分方程。它由克劳德-路易·纳维尔和乔治·加布里埃尔·斯托克斯在19世纪独立推导出来。 方程的形式如下： $$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u}\right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u},$$ 其中： $\rho$ 是流体的密度 $\mathbf{u}$ 是流体的速度 $p$ 是压强 $\mu$ 是流体的粘度 $\nabla$ 是梯度算子 $\nabla^2$ 是拉普拉斯算子 与牛顿运动定律的关系 纳维尔-斯托克斯方程可以看作是牛顿第三定律在流体中的表达。方程等号右边的第一项 -$\nablap$ 对应压强梯度力，表示流体因压强梯度而受到的力。第二项 $\mu \nabla^2 \mathbf{u}$ 对应粘性力，表示流体内部因粘性而受到的摩擦力。 用张量语言简化流体力学中的矢量计算 张量语言是一种数学工具，可以用来表示多维量。在流体力学中，张量语言可以用来表示应力、应变和速度等量。使用张量语言可以大大简化流体力学中的矢量计算。 张量表示 在张量语言中，矢量被表示为一阶张量。二阶张量需要用两个基底的张量积来展开。标量（零阶张量）可以看作是张量元素为常数的张量。 张量运算 点乘：两个向量的点乘可用张量缩并表示： $$v_i w_i,$$ 其中 $v_i$ 和 $w_i$ 是两个向量的张量元素。 与张量的点乘：一个向量与二阶张量的点乘可用张量乘法表示： $$a_{ij}v_j,$$ 其中 $a_{ij}$ 是二阶张量的张量元素，$v_j$ 是向量的张量元素。 张量导数 在张量语言中，导数可用协变导数表示。协变导数是普通导数的推广，它考虑了坐标系的变换。 梯度：一个标量的梯度用张量语言表示为： $$\partial_i p,$$ 其中 $p$ 是标量，$\partial_i$ 是协变导数。 散度：一个向量的散度用张量语言表示为： $$\partial_i v_i,$$ 其中 $v_i$ 是向量的张量元素。 导出版纳维尔-斯托克斯方程 使用张量语言，可以从流体应力张量中导出纳维尔-斯托克斯方程。流体应力张量是一个二阶张量，表示流体中一个点上的应力状态。 流体微元的受力可以表示为： $$d\mathbf{F} = -\partial_j \sigma_{ij} dV,$$ 其中 $\sigma_{ij}$ 是流体应力张量的张量元素，$dV$ 是流体微元的体积。 代入牛顿流体的应力张量： $$\sigma_{ij} = -p\delta_{ij} + \mu\left(\partial_i v_j + \partial_j v_i\right),$$ 其中 $p$ 是压强，$\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。 计算受力并对体积积分，得到纳维尔-斯托克斯方程： $$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla\mathbf{u}\right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u}.$$ 结论 张量语言是一种强大的数学工具，可以用来简化流体力学中的矢量计算。它可以帮助我们从流体应力张量中导出纳维尔-斯托克斯方程，从而加深我们对流体运动的理解。
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