文章编号：4619 / 更新时间：2024-12-07 23:54:48 / 浏览：次
内部不同层间的阻力。流体微元内部不同层的速度不同，会导致层间产生摩擦力。粘性力阻碍流体微元的运动，使流体微元的速度逐渐减小。

受力情况

流体微元所受的合力为： ``` F = -∇p + μ∇²v ``` 其中： `F` 是流体微元所受的合力 `∇p` 是压强梯度 `μ` 是流体的粘度系数 `∇²v` 是速度的拉普拉斯算子

牛顿运动定律

牛顿第二定律指出，流体微元所受的合力等于其质量乘以加速度。流体微元的质量为 `ρdV`，加速度为 `∂v/∂t`，因此： ``` ρdV∂v/∂t = -∇p + μ∇²v ``` 其中： `ρ` 是流体的密度 `dV` 是流体微元的体积 整理上式，得到纳维尔-斯托克斯方程： ``` ρ∂v/∂t = -∇p + μ∇²v ```

纳维尔-斯托克斯方程与牛顿运动定律

纳维尔-斯托克斯方程实际上是牛顿第三定律在流体中的表达。牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等，方向相反。对于流体微元来说，作用力是压强差和粘性力，反作用力是流体微元对周围流体的反作用力。纳维尔-斯是由空间中每个点的矢量组成。张量分析是矢量微积分的推广，可以描述更加复杂的数学对象，例如张量场。

nabla算子和协变导数

nabla算子是矢量微积分中常用的算子。它可以作用于标量场、矢量场和张量场。协变导数是张量分析中类似于nabla算子的算子。它可以在弯曲时空中作用于张量场。

梯度和散度

梯度是张量语言中的一个概念，表示标量场在空间中的变化率。散度是张量语言中的另一个概念，表示矢量场在空间中的“发散”程度。

纳维尔-斯托克斯方程的张量形式

纳维尔-斯托克斯方程可以用张量语言表示为： ``` ρ(∂v/∂t)_i = -p,_i + μ(∇²v)_i ``` 其中： `v` 是流体的速度张量 `p` 是流体的压强大量 `μ` 是流体的粘度系数 张量形式的纳维尔-斯托克斯方程比矢量形式更加简洁，而且可以推广到更复杂的流体模型。

总结

纳维尔-斯托克斯方程是描述不可压缩流体运动的重要方程组。它可以从牛顿第二定律和流体的受力情况推导出来。张量语言是一种数学工具，可以简化流体力学中的矢量计算。纳维尔-斯托克斯方程的张量形式更加简洁，而且可以推广到更复杂的流体模型。
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