文章编号：1315 / 更新时间：2024-11-29 20:30:19 / 浏览：次

简介

纳维尔-斯托克斯方程是描述流体运动的偏微分方程。它们以法国数学家克洛德-路易·纳维尔和爱尔兰数学家和物理学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯的名字命名。纳维尔-斯托克斯方程最初由纳维尔于 1822 年提出，斯托克斯于 1845 年作了进一步的发展。

与牛顿运动定律的关系

纳维尔-斯托克斯方程是牛顿第三定律在流体中的表达。牛顿第三定律指出，作用力和反作用力总是相等且相反地成对出现。在流体中，作用在流体微元上的作用力包括压强梯度力和粘滞力。相应的反作用力则来自流体微元本身。

张量语言的应用

张量语言是一种数学工具，可以简化流体力学中的矢量计算。在张量语言中，矢量被称为一阶张量，二阶张量是两个一阶张量的张量积。 使用张量语言可以将矢量微积分中的导数运算表示为协变导数。协变导数是张量语言中用来描述导数的一种推广。

从流体应力张量导出纳维尔-斯托克斯方程

我们可以从流体应力张量中导出纳维尔-斯托克斯方程。流体应力张量是一个二阶张量，描述了流体中的应力分布。流体微元的受力可以用下式表示： ``` F = ∇ · σ ``` 其中： F 是流体微元的受力 ∇ 是梯度算符 σ 是流体应力张量 流体应力张量可以分解为压强梯度项和粘滞项。压强梯度项表示压强梯度对流体微元施加的力，粘滞项表示粘滞力对流体微元施加的力。 将流体应力张量的分解代入受力方程，可得到纳维尔-斯托克斯方程： ``` ρ(∂v/∂t + v · ∇v) = -∇p + μ∇²v ``` 其中： ρ 是流体的密度 v 是流体的速度 p 是压强 μ 是流体的粘度

利用张量语言简化计算

利用张量语言可以简化流体力学中的矢量计算。例如，可以将梯度算符表示为协变导数，并将散度表示为一阶张量的协变导数的缩并。这些转换可以极大地简化流体力学方程的推导和计算。

结论

张量语言是一种强大的数学工具，可以简化流体力学中的矢量计算。通过将流体应力张量分解为压强梯度项和粘滞项，并利用张量语言导出纳维尔-斯托克斯方程，我们可以深刻理解纳维尔-斯托克斯方程与牛顿运动定律之间的关系。

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