文章编号：2115 / 更新时间：2024-12-01 13:34:53 / 浏览：次

导言

纳维尔-斯托克斯方程是流体力学中描述流体运动的基本方程，它与牛顿运动定律紧密相关。在本文中，我们将使用张量语言来简化流体力学中的矢量计算，并用张量分析的方法导出纳维尔-斯托克斯方程，揭示其与牛顿第三定律的联系。

从矢量微积分到张量语言

传统的流体力学使用矢量微积分的方法进行计算。但使用张量语言可以极大地简化这些计算。

• 矢量被视为一阶张量：矢量可以用逆变形式表示为 $v^\alpha$, 其中 $\alpha = 1, 2, 3$是三个空间分量。
• 二阶张量：二阶张量需要用两个基底的张量积展开，记为 $T^{\alpha\beta} = v^\alpha w^\beta$。
• 点乘：两个一阶矢量的点乘是两个一阶矢量的缩并，表示为 $v^\alpha w_\alpha$。
• 张量与矢量的点乘：矢量与二阶张量的点乘是一个一阶张量，也即一个矢量，表示为 $v^\alpha T_\alpha{}^\beta$。

矢量微积分中导数的张量表示

在矢量微积分中，导数使用nabla算子（$\nabla$）。可以使用张量语言简化nabla算子的表示。

• 梯度：梯度是一个一阶张量，它表示函数在某一特定方向上的变化率，张量表示为 $\partial_\alpha p$，其中 $p$ 是函数。
• 协变导数：协变导数是一个二阶张量，作用于矢量时得到一个二阶张量，表示为 $D_\alpha v^\beta$。
• nabla算子与协变导数：nabla算子与协变导数之间的关系为 $\nabla_\alpha = \partial_\alpha + \Gamma^\beta_{\alpha\gamma} v^\gamma$，其中 $\Gamma^\beta_{\alpha\gamma}$ 是克里斯托费尔符号。

从流体应力张量导出纳维尔-斯托克斯方程

我们可以使用张量分析的方法从流体应力张量中导出流体微元的受力。

• 流体应力张量：流体应力张量是一个二阶张量，表示流体内部的应力分布，记为 $\sigma^{\alpha\beta}$。
• 流体微元的受力：流体微元的受力由张量 $\partial_\beta \sigma^{\alpha\beta}$ 给出，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是坐标分量。

这个受力恰好对应于纳维尔-斯托克斯方程等号右边的压强梯度项和粘滞项，验证了纳维尔-斯托克斯方程是牛顿第三定律在流体中的表达式。

总结

张量语言可以极大地简化流体力学中的矢量计算。它提供了简洁而有力的方法来表达物理定律，并揭示了不同物理现象之间的联系。通过使用张量语言，我们可以从流体应力张量中推导出纳维尔-斯托克斯方程，并验证其与牛顿第三定律的联系。

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