文章编号：1626 / 更新时间：2024-11-30 14:41:33 / 浏览：次

如何理解纳维尔-斯托克斯方程？它与牛顿运动定律之间有何关联？如何利用张量语言简化流体力学中的矢量计算？

10月27日12时，《张朝阳的物理课》第二百二十八期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何用张量形式表达矢量微积分中的相关计算，再利用张量分析的方法从流体应力张量中导出了流体微大量的定理、公式与技巧，精巧的同时却容易让人迷失在技术细节中。而用上被张朝阳比喻为牛刀的张量语言后，这些运算过程将得到极大的化简。

张量、协变导数和nabla算子

在微分几何与张量分析的表达中，矢量也被称为一阶张量。利用一组合适的基底，可以将其表达为逆变形式

$$V^{\alpha}=\left(V^{1}, V^{2}, V^{3}\right)$$

其中α=1,2,3是三个空间分量。这里沿袭在广义相对论中的习惯，使用爱因斯坦求和约定以简化叙述。

而二阶张量需要用两个基底的张量积来展开，记为

$$T^{\alpha\beta}=\left( \begin{array}{ccc} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{array} \right)$$

前面两节直播课上已经证明过，两个矢量的点乘即是两个一阶矢量的缩并

$$V\cdot W=V^{\alpha} W^{\alpha}$$

矢量与二阶张量的点乘也可以类似定义

$$(VT)^{\beta}=V^{\alpha} T^{\alpha\beta}$$

不难看到，矢量与二阶张量的结果其实是一个一阶张量，也即一个矢量。

再看矢量微积分中的导数运算。在矢量运算中，求导依赖于所谓的nabla算子。Nabla算子作用到一个函数（零阶张量）上，结果将是一个矢量（一阶张量），即函数的梯度。

梯度起源于数学家希望找到一个量以表征函数在某一特定方向上的变化量，按照最朴素的想法，它应当是

$$\nabla_{\hat{l}}p=\lim\limits_{\Delta l\to 0}\frac{p(x+\Delta l\hat{l})-p(x)}{\Delta l}$$

其中是任意方向上的单位矢量。

等号右边的即是在沿着l方向上迈出极小一步后，函数p的改变量，与导数的定义相类似。注意到Δl是个小量，借助多元函数的泰勒展开，可以计算到

$$\nabla_{\hat{l}}p=\frac{\partial p}{\partial x^{\alpha}}\hat{l}^{\alpha}$$

如果定义一个新的矢量

$$\nabla

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