文章编号：1999 / 更新时间：2024-12-01 11:48:51 / 浏览：次

引力波是广义相对论的重要预言，但证明其存在并不容易。早在1916年，爱因斯坦就提出引力波的存在，类似于电磁波在电磁场中的传播。当时的数学处理并不完善，使得这些波的物理实在性受到质疑。

1950年代，邦迪等人的研究确定了引力波携带能量。邦迪通过Bondinews这一物理量确切地描述了引力波如何从一个源中辐射出来，证明了引力波能够在没有坐标系依赖的情况下，携带出能量、动量和角动量。雷纳·萨克斯和约瑟夫·波多尔斯基提出了Sachs-Goldberg公式，进一步规范了描述引力波的方法。

1974年，Hulse和Taylor发现了第一颗脉冲双星系统PSRB1913+16，并通过对其长期观测，发现这个系统的轨道半长轴衰减与广义相对论预言的引力波耗散一致，间接证明了引力波的存在。

1990年代，激光干涉引力波天文台（LIGO）项目启动，并于2015年9月14日成功探测到首个引力波事件GW150914，这是两个质量约为36倍和29倍太阳质量的黑洞合并所产生的引力波。这一事件验证了爱因斯坦的广义相对论，开启了引力波天文学的新时代。

在广义相对论的弱场情形下，爱因斯坦方程可以出现波动方程。下面是推导过程：

时空的微扰度规

对于一个平直时空，度规可以写成：

$$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

在弱场情形下，度规可以表示为平直时空度规加上一个微扰项：

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$$

爱因斯坦方程的线性化

将微扰度规代入爱因斯坦方程，并对$h_{\mu\nu}$进行线性化，得到：

$$\Box h_{\mu\nu} = -16\pi T_{\mu\nu}$$

其中$\Box$是达朗贝尔算子，$T_{\mu\nu}$是能量动量张量。

波动方程

令$h_{\mu\nu} = h^{TT} e^{ikx}$，代入线性化的爱因斯坦方程，得到：

$$(k^2 + \omega^2) h^{TT} = 0$$

其中$\omega$是引力波的角频率，$k$是波矢。

上述方程即为引力微扰的波动方程。

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